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c o m p l e x e s ; t h e s e f o r m t h e c a r t e s i a n c l o s e d s u b c a t e g o r y o f s i m p l e p r e s h e a v e s i n ! S m p , t h e t o p o s o f s y m m e t r i c s i m p l i c i a l s e t s , o r p r e s h e a v e s o n t h e c a t e g o r y ! å o f f i n i t e , p o s i t i v e c a r d i n a l s . W e s h o w h e r e h o w t h i s h o m o t o p y t h e o r y c a n b e e x t e n d e d t o t h e t o p o s i t s e l f , ! S m p . A s a c r u c i a l a d v a n t a g e , t h e f u n d a m e n t a l g r o u p o i d